Model Problem Posing Dalam Pembelajaran Barisan Aritmetika*)

 

1. A.      Pendahuluan

                                    Matematika adalah salah satu mata pelajaran dan merupakan ilmu dasar (basic science) yang penting baik sebagai alat bantu, sebagai pembimbing pola pikir maupun sebagai pembentuk sikap, maka dari itu matematika diharapkan dapat dikuasai oleh siswa di Sekolah. Namun pelajaran matematika selalu dianggap sulit dan ditakuti oleh siswa sehingga sangat berdampak pada prestasi belajar siswa.

                                    Untuk mengatasi masalah tersebut merupakan tanggung jawab guru matematika untuk mencari solusi berupa model-model pembelajaran yang tepat dalam menyampaikan materi pelajaran sehingga diharapkan dapat dipahami oleh siswa dengan baik. Salah satu model pembelajaran yang mendapat perhatian, yaitu model pembelajaran problem posing dimana dengan model pembelajaran ini siswa akan kreatif (Setiawan, 2004 dalam Alif), karena melalui model pembelajaran ini siswa diharapkan akan lebih mendalami pengetahuan dan menyadari pengalaman belajar. Selain itu Rusefendi (2004) mengatakan bahwa upaya membantu siswa memahami soal dapat dilakukan dengan menulis kembali soal tersebut dengan kata-katanya sendiri, menuliskan soal dalam bentuk lain atau dalam bentuk operasional. Kegiatan inilah yang dikenal dengan istilah problem posing. Oleh karena itu melalui pembelajaran problem posing ini siswa diharapkan dapat membuat soal sendiri yang tidak jauh beda dengan soal yang diberikan oleh guru dan dari situasi-situasi yang ada sehingga siswa terbiasa dalam menyelesaikan soal termasuk soal cerita dan diharapkan dapat meningkatkan prestasi belajar siswa.

                                    Beberapa hasil penelitian juga mengemukakan bahwa pembelajaran dengan problem posing lebih berdampak positif terhadap hasil belajar siswa. Salah satu yang dilakukan oleh Yansen (2005 dalam Alif) yang menyimpulkan bahwa melalui pembelajaran problem posing maka hasil belajar siswa dapat ditingkatkan.

B.  Pengertian Problem Posing

                                    Problem posing adalah istilah dalam bahasa Inggris yaitu dari kata “problem” artinya masalah, soal/persoalan dan kata “pose” yang artinya mengajukan (Echols dan Shadily, 1995 dalam Hajar). Jadi problem posing bisa diartikan sebagai pengajuan soal atau pengajuan masalah. Pengertian ini sendiri seperti yang dikatakan oleh As’ari dalam Yansen (2005) menggunakan istilah pembentukan soal sebagai padanan kata untuk istilah problem posing.

                                    Problem posing dapat juga diartikan membangun atau membentuk masalah (Tim PTM, 2002). Problem posing mempunyai beberapa pengertian. Suryanto dalam Yansen (2005: 9) menjelaskan

1. Problem posing adalah perumusan soal sederhana atau perumusan soal ulang yang ada dengan beberapa perubahan agar lebih sederhana sehingga soal tersebut dapat diselesaikan.
2. Problem posing adalah perumusan soal yang berkaitan dengan syarat-syarat pada soal yang telah diselesaikan.

Setiawan (2004) mengatakan pembentukan soal atau pembentukan masalah mencakup dua kegiatan yaitu :

1. Pembentukan soal baru atau pembentukan soal dari situasi atau dari pengalaman siswa.
2. Pembentukan soal dari soal yang sudah ada.

                                    Dari sini kita bisa katakan bahwa problem posing merupakan suatu pembentukan soal atau pengajuan soal yang dilakukan oleh siswa dengan cara membuat soal tidak jauh beda dengan soal yang diberikan oleh guru ataupun dari situasi dan pengalaman siswa itu sendiri.

Suryanto (1998) menjelaskan problem posing adalah perumusan soal sederhana atau perumusan ulang soal yang ada dengan beberapa perubahan agar lebih sederhana dan dapat dikuasai. Hal ini terjadi dalam pemecahan soal-soal yang rumit.

Dunlop (2001 dalam Asmara) menjelaskan bahwa problem posing sedikit berbeda dengan pemecahan masalah, tetapi masih merupakan suatu alat valid untuk mengajarkan berpikir matematis.

Leung (1997 dalam Asmara) menjelaskan bahwa para matematikawan mengartikan problem posing sebagai suatu formasi atau jajaran dari masalah-masalah baru yang pemecahannya paling tidak belum diketahui oleh pembuatnya sendiri.

English (1998 dalam Asmara) menjelaskan pendekatan problem posing dapat membantu siswa dalam mengembangkan keyakinan dan kesukaan terhadap matematika, sebab ide-ide matematika siswa dicobakan untuk memahami masalah yang sedang dikerjakan dan dapat meningkatkan kinerjanya dalam pemecahan masalah.

Nasoetion (1991), Problem posing siswa diberi kesempatan aktif secara mental, fisik dan sosial serta memberikan kesempatan kepada siswa untuk menyelidiki dan juga membuat jawaban-jawaban yang divergen.

Silver dan Silver dan Cai (1996 dalam Asmara) dalam Adi memberikan istilah problem posing diaplikasikan pada tiga bentuk aktivitas kognitif matematika yang berbeda.

Dari pendapat-pendapat di atas, maka problem posing  dalam matematika merupakan tugas yang meminta siswa untuk mengajukan atau membuat soal atau masalah matematika berdasarkan informasi yang diberikan, sekaligus menyelesaikan soal atau masalah yang dibuat tersebut. Problem posing diberikan setelah siswa menyelesaikan suatu masalah matematika.

1. C.     Problem Posing Secara Berkelompok

                                    Pembelajaran dengan problem posing ini menekankan pada pembentukan atau perumusan soal oleh siswa secara berkelompok. Setiap selesai pemberian materi guru memberikan contoh tentang cara pembuatan soal dan memberikan informasi tentang materi pembelajaran dan bagaimana menerapkannya dalam problem posing secara berkelompok.

                  Keuntungan belajar kelompok dalam Roestiah (2001) adalah:

1. Dapat memberikan kesempatan kepada para siswa untuk menggunakan keterampilan bertanya dan membahas suatu masalah.
2. Dapat mengembangkan bakat kepemimpinan dan mengajarkan keterampilan berdiskusi
3. Dapat memungkinkan guru untuk lebih memperhatikan siswa sebagai individu serta kebutuhan belajar
4. Para siswa lebih aktif tergabung dalam pelajaran mereka dan mereka lebih aktif berpartisipasi dalam diskusi.
5. Dalam memberi kesempatan kepada siswa untuk mengembangkan rasa menghargai dan menghormati pribadi temannya, menghargai pendapat orang lain, hal mana mereka telah saling membantu kelompok dalam usaha mencapai tujuan bersama.

Adapun langkah-langkah belajar kelompok adalah:

Fase	Tingkah laku guru
Fase 1Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa	Guru menyampaikan semua tujuan pelajaran tersebut dan memotivasi siswa belajar
Fase -2Menyajikan informasi	Guru menyajikan informasi kepada siswa dengan jalan demonstrasi atau lewat bahan bacaan
Fase-3Mengorganisasikan siswa ke dalam kelompok-kelompok belajar	Guru menjelaskan kepada siswa bagaimana caranya membentuk kelompok belajar dan membantu setiap kelompok agar melakukan transisi secara evisien
Fase – 4Membimbing kelompok, belajar mengajar	Guru membimbing kelompok-kelompok belajar pada saat mengerjakan tugas
Fase -5Evaluasi	Guru mengevaluasi hasil belajar tentang materi yang telah dipelajari atau masing-masing kelompok mempersentasikan hasil pekerjaannya
Fase-6Memberi penghargaan	Guru mencari cara-cara untuk menghargai baik hasil belajar individu atau kelompok.

 

Jadi langkah-langkah pembelajaran problem posing secara berkelompok adalah:

1. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran dan memotivasi siswa untuk belajar.
2. Guru menyajikan informasi baik secara ceramah atau tanya jawab selanjutnya memberi contoh cara pembuatan soal dari informasi yang diberikan.
3. Guru membentuk kelompok belajar antara 5-6 siswa tiap kelompok yang bersifat heterogen baik kemampuan, ras dan jenis kelamin.
4. Selama kerja kelompok berlangsung guru membimbing kelompok-kelompok yang mengalami kesulitan dalam membuat soal dan menyelesaikannya.
5. Guru mengevaluasi hasil belajar tentang materi yang telah dipelajari dengan cara masing-masing kelompok mempersentasikan hasil pekerjaannya.
6. Guru memberi penghargaan kepada siswa atau kelompok yang telah menyelsaikan tugas yang diberikan dengan baik.

 

D.                    Beberapa Petunjuk Pembelajaran dengan Problem Posing

 

a.         Petunjuk Pembelajaran yang Berkaitan dengan Guru

1)    Guru/Dosen hendaknya membiasakan merumuskan soal baru atau memperluas soal dari soal-soal yang ada di buku pegangan.

2)    Guru/Dosen hendaknya menyediakan beberapa situasi yang berupa onformasi tertulis, benda manipulatif, gambar, atau lainnya, kemudian guru/dosen melatih siswa merumuskan soal dengan situasi yang ada.

3)    Guru/Dosen dapat menggunakan soal terbuka dalam tes.

4)    Guru/Dosen memberikan contoh perumusan soal dengan beberapa taraf kesukaran, baik isi maupun bahasanya.

5)    Guru/Dosen menyelenggarakan reciprocal teaching, yaitu pembelajaran yang berbentuk dialog antara guru/dosen dan siswa/mahasiswa mengenai isi buku teks, yang dilaksanakan dengan cara menggilir siswa berperan sebagai guru. (Sutiarso, 2000).

 

 

b. Petunjuk Pembelajaran yang Berkaitan dengan Siswa/Mahasiswa

1)    Siswa/Mahasiswa dimotivasi untuk mengungkapkan pertanyaan sebanyak-banyaknya terhadap situasi yang diberikan.

2)    Siswa/Mahasiswa dibiasakan mengubah soal-soal yang ada menjadi soal yang abru sebelum mereka menyelesaikannya.

3)    Siswa/Mahasiswa dibiasakan untuk membuat soal-soal serupa setelah menyelesaikan soal tersebut.

4)    Siswa/Mahasiswa harus diberi kesempatan untuk menyelesaikan soal-soal yang dirumuskan oleh temannya sendiri.

5)    Siswa/Mahasiswa dimotivasi  untuk menyelesaikan soal-soal non rutin. (Sutiarso, 2000).    

 

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN                    

                             

Nama Sekolah                    :     SMA ….

Mata Pelajaran                   :     Matematika

Kelas / Semester               :     X (Sepuluh)/Genap

Standar Kompetensi         :     4. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.

 

Kompetensi Dasar             :     4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri.

 

Indikator                              :     Menentukan suku ke-n barisan aritmetika.

                                                  

Alokasi Waktu                     :     2 jam pelajaran (1 pertemuan).

 

A.      Tujuan Pembelajaran

         Siswa dapat menentukan suku ke-n barisan aritmetika

 

B.     Materi Ajar

         Barisan Aritmetika

C.     Metode Pembelajaran

         Pendekatan Problem Posing    

D. Langlah-langkah Kegiatan Pembelajaran

Pendahuluan:

1)   Menyampaikan tujuan pembelajaran.

2)   Mengingatkan kembali tentang pola bilangan.

3)   Menanyakan sejauh mana pengetahuan siswa terhadap pola bilangan khususnya tentang barisan aritmetika.

4)   Memotivasi siswa untuk mempelajari materi barisan aritmetika.

Kegiatan Inti:

1)   Guru membentuk kelompok yang terdiri 4-5 orang siswa yang heterogen.

2)   Guru membagi materi rangkuman tentang pengertian barisan aritmetika, rumus yang digunakan untuk menghitung atau menentukan suku ke-n barisan aritmetika, contoh-contoh penggunaan rumus tersebut, serta permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan barisan aritmetika.

3)   Guru meminta siswa mempelajari rangkuman materi yang telah dibagikan.

4)   Guru meminta masing-masing siswa untuk membuat dua soal dari materi yang dibagikan (dengan demikian, setiap kelompok membuat 8-10 soal).

5)   Siswa berdiskusi untuk mencari penyelesaian dan menulisnya di Lembar Prolem Posing.

6)   Masing-masing kelompok menuliskan soal yang tidak bisa diselesaikan oleh kelompoknya di Lembar Problem Posing II dan ditukarkan dengan kelompok lain.

7)   Masing-masing kelompok berdiskusi untuk mencari penyelesaian dari Lembar Problem Posing II dari kelompok lain.

8)   Guru menunjuk satu kelompok untuk mempresentasikan materi yang telah dipelajari dan membacakan soal yang tidak bisa dipecahkan di kelompoknya.

9)   Kelompok lain punya hak untuk menyangkal, bertanya dan memberikan masukan, guru berperan sebagai moderator.

10) Guru dan siswa membuat kesimpulan.

11) Guru memberikan tugas rumah.

 

Penutup :

1)   Guru bersama siswa membuat rangkuman semua materi yang telah dibahas.

2)   Guru memberi tugas kepada siswa untuk mengerjakan soal-soal yang belum dibahas di kelas.

E.      Alat dan Sumber Belajar

         Sumber:     

         –     Buku Matematika Kelas XII Semester Ganjil

               F.      Penilaian    

                        Teknik                       : Tes tertulis

                        Bentuk Instrumen     : Uraian

         Contoh Instrumen    :  (Untuk Evaluasi)

         1.   Diketahui barisan aritmetika 7, 11, 15, 19, …

a. Tentukan rumus suku ke–n dari barisan tersebut.

b. Suku ke–11 dari barisan tersebut.

 

2.   Suku ke–4 dari suatu barisan aritmetika adalah 17 dan suku ke–12 dari barisan tersebut adalah 81. Tentukan suku ke–25 dari barisan tersebut.

 

3.   Diketahui tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 15 dan hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 80 maka tentukan nilai ketiga bilangan tesebut

 

 

         Mengetahui                                                                                 Palembang, Mei 2009

         Kepala Sekolah                                                                                                                                               Guru Mata Pelajaran

 

 

 

         ______________________                                                                    _______________________

         NIP.                                                                                                                                 

 

 

 

Sumber Bacaan:

Alif. 2009. Pendekatan Problem Posing Dalam Pembelajaran Matematika. Available on line at http://alifdanhamzah.blogspot.com/2009/05/makalah-problem-posing.html

 

Asmara, Adi. Raniwati. 2004. Problem Posing Dalam Pembelajaran Matematika di SMP Negeri 9 Kota Bengkulu. Implementasi Hasil Penelitian, Artikel.

 

Achmadi, Geri. Dkk. Mahir Matematika 3. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

 

Hajar, Nurul. 2008. Problem Soving (Belajar dari Masalah Membuat Masalah). Available on line at http://h4j4r.multiply.com/journal/item/7/Problem_Posing.

 

Nasoetion, andi Hakim. 1991. Melatih Diri Bersikap Kreatif. Media Pendidikan Matematika Nasional, Tahun I No. 1.

 

Ruseffendi, E.T. 1991. Pengantar kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito. 

Suryanto. 1998. Pembentukan soal Dalam Pembelajaran Matematika. Makalah Seminar Nasional di PPS IKIP Malang, 4 April 1998.

 

 

 

Lampiran Materi:

 

1. Barisan Aritmetika

                                    Untuk memahami barisan aritmetika, pelajari uraian berikut. Di suatu counter pulsa, dijual berbagai macam kartu perdana dan voucher pulsa dengan harga beragam.

Jika Heru membeli sebuah kartu perdana maka dikenakan harga Rp12.000,00, jika Heru membeli dua kartu perdana maka dikenakan harga Rp20.000,00. Jika Heru membeli tiga kartu perdana, dikenakan harga Rp28.000,00. Begitu seterusnya, setiap penambahan pembelian satu kartu perdana, harga pembelian bertambah Rp8.000,00. Apabila harga pembelian kartu perdana tersebut disusun dalam suatu bilangan maka terbentuk barisan berikut (dalam ribuan), yaitu 12, 20, 28, 36, 44, dan seterusnya.

Dari contoh tersebut, Anda lihat bahwa setiap dua suku yang berurutan memiliki beda yang tetap. Barisan yang memiliki beda yang tetap dinamakan barisan aritmetika.

Definisi Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu.

 

Definisi

Defi nisi Deret Bilangan

Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan bilangan. Di antara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmetika.

a. 1, 4, 7, 10, …

b. 3, 6, 12, 24, …

c. 44. 41, 38, 35, …

 

Jawab:

Untuk menentukan apakah suatu barisan termasuk barisan aritmetika atau bukan, hal yang harus diperhatikan adalah beda dari setiap dua suku berurutan dalam barisan tersebut. Jika bedanya tetap maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.

a.   Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 1, 4, 7, 10, … adalah 4 – 1 = 3, 7 – 4 = 3, 10 – 7 = 3

      Beda dari barisan ini tetap sehingga 1, 4, 7, 10, … adalah barisan arimetika.

b.   Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 3, 6, 12, 24,… 6 – 3 = 3, 12 – 6 = 6, 24 – 12 = 12

      Beda dari barisan ini tidak tetap sehingga barisan 3, 6, 12, 24, … bukan barisan aritmetika.

c.   Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 44, 41, 38, 35, …

      41 – 44 = –3, 38 – 41 = –3, 35 – 38 = –3

      Beda dari barisan ini tetap sehingga barisan 44, 42, 38, 35, … adalah barisan aritmetika.

 

Contoh Soal

                                    Jika Anda diminta menentukan suku ke 101 dari barisan bilangan asli, tentu saja Anda dengan mudahnya dapat menjawab pertanyaan tersebut. Akan tetapi, Bila Anda diminta menentukan suku ke 101 dari barisan bilangan ganjil, Anda akan menemui kesulitan Bila diminta menjawab secara spontan dan tidaklah mungkin jika Anda harus mencarinya dengan mengurutkan satu per satu dari suku awal sampai suku yang ditanyakan. Untuk itulah diperlukan suatu aturan untuk menentukan suku-suku yang dicari, supaya dapat menentukan suku tertentu dari suatu barisan aritmetika.

Untuk itu, pelajarilah penurunan rumus suku ke–n berikut dengan baik. Misalkan U1, U2, U3, …, Un adalah barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b maka Anda dapat menuliskan:

U1 = a

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3 – 1)b

U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4 – 1)b

Un

= Un – 1 + b = a + ( n – 1)b

 

Definisi Barisan Aritmetika

                                    Suatu barisan dikatakan sebagai barisan aritmetika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bilangan (selisih) tetap tersebut disebut sebagai beda (b).

 

Definisi

                                    Defi nisi tersebut jika diubah ke bentuk notasi adalah sebagai berikut. Jika U1, U2, U3, …, Un–1, Un adalah suatu barisan bilangan maka barisan tersebut dikatakan sebagai barisan aritmetika apabila memenuhi hubungan berikut.

U2 – U1 = U3 – U2 = … Un – Un–1

 

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Suku ke–4 dari suatu barisan aritmetika adalah 17 dan suku ke–12 dari barisan tersebut adalah 81. Tentukan suku ke–25 dari barisan tersebut.

Jawab:

 

Suku ke–4 = U4 = a + 3b = 17 … (1) 

Suku ke–12 = U12 = a + 11b = 81 …(2)

Dengan menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, diperoleh suku pertama a = –7 dan beda barisan b = 8. Coba Anda buktikan. Dengan demikian, suku ke–25 dari barisan tersebut adalah

Un = a + (n–1)b

U25 = –7 + (25 – 1) 8 = –7 + 192 = 185

 

Jadi, suku ke–25 dari barisan aritmetika tersebut adalah 185.

Diketahui tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 15 dan hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 80 maka tentukan nilai ketiga bilangan tesebut.

Jawab:

 

Misalkan, suku tengah ketiga bilangan tersebut adalah x, beda barisan tersebut adalah b maka suku pertama barisan adalah x – b dan suku ketiganya x + b. Jadi, barisan aritmetikanya adalah x – b, x, x + b.

Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 15. Artinya, (x – b) + x + (x + b) = 15

3x = 15

x = 5

Substitusikan nilai x = 5 ke dalam barisan, diperoleh 5 – b, 5, 5 + b

 

Rumus suku ke–n dari suatu Barisan Aritmetika.

Misalkan terdapat suatu barisan aritmetika U1, U2 …, Un maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertama a dan beda b adalah

Un = a – (n – 1)b

 

*)    Makalah ini merupakan tugas mata kuliah Desain Pembelajaran Matematika diselesaikan pada Juni 2009.

**)   Penulis adalah mahasiswa PPS program studi pendidikan Matematika Unsri 2008/2009.